Am luat la creion primul exrciţiu din cele enunţate de prof. Stefan VLASTON in articolul său critic, Şcoala işi bate joc de copii-, ca fiind dificile pentru un elev de clasa a V-a.
Daca fracţia ordinară
_a_
5040
este ireductibila, a numar natural, arătaţi că
(a+1)(a+2)(a+3) ≥ 2184.
Sunt multe notiuni pe care trebuie să le înşuşească un elev de clasa a V-a: număr prim, ireductiblitate, fracţie ireductibilă, fracţie echivalenta, divizibilitate, divizori, divizori comuni, numere consecutive. Nu este suficient doar sa le enunţe, mai trebuie să le şi exerseze mult, să rezolve multe exerciţii ca să dovedească că le stăpânşte.
Dupa această etapă poate trece la exerciţii de anvergura celui de sus, dar nu este obligatoriu, nu poţi cere unui elev, nici din cei cu note bune la matematică să rezolve probleme cu grad ridicat de dificultate.
Aici cred eu că se sare pârlezul dincolo de cerinţele programei şcolare. Cu asemenea exerciţii profesorul riscă să vorbeacsă în deşert, să piardă pe drum pe mulţi din clasă.
Acest exerciţiu este bun pentru cei care se pregatesc pentru olimpiadă.
- Cine iese la tablă să rezolve problema? ... Nimeni? Unde vă este gândul?, la tabletă?, la facebook? Sau v-aţi uitat capul acasă?
Încerc să-l ajut eu pe elev! Pentru ca fracţia a / 5040 să fie ireductibila este obligatoriu ca numarul natural a să nu aibă diviziori comuni cu numarul 5040. Mai intâi elevul trebuie să scrie numărul ca un produs de numere prime. Prin împărţiri succesive se ajunge la descompunerea numărului 5040 în factori primi.
5040 este egal cu produsul factorilor primi: 2,3,5 si 7 (2 la puterea a patra, 3 la puterea a treia).
De aici elevul trebuie să treacă la o treaptă superioară, să facă un raţionament matematic. El trebuie sa ajungă la conculzia că numărul a de la numitor nu trebuiie sa fie 2, 3, 5 si 7 pentru ca fracţia să fie ireductibilă. Mai trebuie să ştie că următorul număr prim după 7 este 11. Problema începe cu „daca fracţia este ireductibila” şi apoi se cere să se arate că (a+1)(a+2)(a+3) ≥ 2184.
Se va da valoarea 11 lui a şi se va calcula:
(11+1)(11+2)(11+3)= 2184.
Rezolvarea problemei continuă! Elevul va trebui să demonstreze că acest produs este mai mare ca 2184., adică un raţionament de genul: dacă pentru a=11 acest produs este egal cu 2184, pentru orice alt număr prim mai mare ca 11 cu atât mai mult produsul va fi mai mare ca 2184! Q.E.D.
- Aţi văzut, ce simplu e? ... Aşteptaţi să vă dea cineva mură-n gură! Temă pentru acasă:
Să se arate că fracţia
( 3n(5n+2) + 1 ) / ((3n+2)5n +1)
este reductibilă!
Se afișează postările cu eticheta matematica. Afișați toate postările
Se afișează postările cu eticheta matematica. Afișați toate postările
30 iun. 2011
Barem M1 Bac 2011
 |
Mi se pare mie, sau chiar aşa este, problema de la 2c din Subiectul al III-lea este cu mult peste nivelul mediu. Trebuie să ai inspiraţia de a vedea că 1 din faţa funcţiei de sub integrală poate fi scris ca derivata expresiei de forma 1/2(2x-3). Nu orice elev simte că atunci când derivata este o constantă e ca şi cum ai merge cu maşina neaccelerat. Asta se întâmplă doar în teorie. În realitate ştim cum se circulă prin oraş, pe la trecerile pentru pietoni...
UPDATE
Un model de rezolvare a problemelor din Subiectul al III -lea:
10 mar. 2010
Tata-moş şi ouăle
Lasă creionul pe hârtia pe jumătate plină cu termeni ai unei serii Riemann. Adesea când se gândeşte la drumul de urmat în găsirea soluţiei unei probleme de matematică, face un salt înapoi , în timp. Tata-moş, bunicul dinspre mamă, îi dăduse un strop din taina matematicii, îi semănase ogorul minţii cu acea minunată sămânţă din care renaşte puterea de a gândi, de a raţiona, fără de care nici nu te poţi apropia de acest domeniu fascinat al matematicii.
Avea de calculat suma cifrelor de la 1 la n, adică 1+2+3+...+n.
Tata-moş luase un exemplu mai la îndemână. Mai întâi îi ceruse să afle împreună suma numerelor naturale consecutive de la 1 la 50, adică 1+2+3 …+50, fără a aduna număr cu număr, din aproape în aproape.
Îi ceruse să-şi îmagineze că are în faţa lui un şir de cinzeci de coşuri ca acelea în care se ţin ouă, un fel de cuibare.
În primul coş un ou, în al doilea, doua, şi aşa mai încolo, în al cinzecilea, cinzeci de ouă.
Îl întrebase tata-moş:
-Putem face cumva ca să avem mai puşine coşuri dar cu acelaşi număr de ouă?
Dacă îzbuteşti, nu îţi rămâne decât să înmulţeşti numărul de coşuri cu numărul de ouă dintr-un coş.
Îi lăsase timp, dar nu mult, pentru a nu i se cuibări în minte că matematica este o cetate imposibil de cucerit.
- Priveşte la primul coş, apoi la ultimul! Adună ouăle într-un singur coş, dă coşul gol la spate si aşează pe un nou rând coşul cu 51 de ouă. Priveşte din nou la răndul cu cele 48 de coşuri rămase, primul are două ouă, ultimul 49. Trece două ouă în coşul cu 49, coşul gol îl dai deoparte, iar pe cel cu ouă, 51 de ouă, îl aşezi pe rândul cel nou, lâgă primul, care are acelaşi număr de ouă, 51. Şi tot aşa pănă ajugi la ultimile două coşuri, unul cu 25 şi celălat cu 26 de ouă. Ai completat rândul cu 25 de coşuri, în fiecare se găsesc 51 de ouă. Nu ai decât să faci o înmulţire, 25 cu 51 şi obţii 1157.
Acum lui i se pare o joacă. Atunci i se păruse o minune.
Dar îşi aminteşte că şi-a ascuns sentimentul de uimire, cu o săgeată ţintită asupra modestului dascăl :
- Nu mai bine adunăm ouăle la un loc, le numărăm, şi gata, ce atâta complicaţie!
Nu a savurat mult împunsătura cu săgeata otrăvită, Tata-moş i-a cerut să numere ouăle dintr-un milion de coşuri.
-Hai desenează aici un milion de cercuri, cum ar fi cuibare, pune in ele ouăle, de la 1 la un milion , şi spune-mi câte ouă sunt de toate?
El se simţise încurcat. Parcă îi ceruse să ridice o piatră de moară. Tata-moş nu-l lăsase mult în această stare de angoasă.
-Hai să găsim jocul dintre numerele din exemplul cu cele 50 de coşuri cu ouă.
Să exploatăm povestea lor. Ai un şir de 25 de coşuri, deci jumătate din 50, a cîte 51 de ouă cu unul mai mult decît ouăle din ultimul coş. Adică acelaşi produs de mai sus , 25x51, îl scrii altfel , (50 x 51)/2. Dacă pe 50 îl înlocuieşti cu n , atunci 51 ar trebui înlocuit cu n+1.
1+2+3+ ...+n= n(n+1)/2
De fapt, Tata-moş îl ajutase să cucerească o mică redută a matematicii, aşa cum Karl Friederich Gauss, titanul matematicii, reuşise să adune, mintal, numerele naturale de la 1 la o 100, pe când era de vărsta unui elev de şcoală primară. Pănă la el nimeni nu găsise o cale de a aduna suma a n numere naturale consecutive.
Când o altă redută i se ivi:
1+1x2/2+ 2x3/2+3x4/2+...+nx(n+1)/2
căută să o cucerească fără să-l ajute Tata-moş. Şi-a imginat un număr de n ferme de găini. Prima cea mai săracă, un singur coş, un singur ou; a doua cu două coşuri: un ou, două; a treia cu trei coşuri: un ou, două, trei. Şi tot aşa...Dar, vai! a observat că în această redută este ascunsă o altă redută, nu mai mică, suma pătratelor numerelor naturale! ...
A reuşit! Şi apoi alte şi alte cetăţi i s-au ivit în cale. Astăzi este departe de prima cetate, spre care priveşte cu nostalgie. Tata-moş i-a dat aripi.
Matematica este ca o cetate, care nu se lasă uşor cucerită. Dacă folosindu-te de iscusinţa minţii îi găseşti cifrul, pin-ul, intri în cetate, dar nu ai timp să savurezi victoria, căci vei constata că te găseşti la porţile altei cetăţi, care pentru a fi cucerită, îţi va trebui o altă muniţie, şi o tactică mai sofisticată, şi tot aşa din cetate în cetate ... Mulţi ajung savanţi pe tărâmul acestei ştiinţe, dar la sfârşitul vieţii constată că nu au cucerit şi cea din urmă cetate.
Avea de calculat suma cifrelor de la 1 la n, adică 1+2+3+...+n.
Tata-moş luase un exemplu mai la îndemână. Mai întâi îi ceruse să afle împreună suma numerelor naturale consecutive de la 1 la 50, adică 1+2+3 …+50, fără a aduna număr cu număr, din aproape în aproape.
Îi ceruse să-şi îmagineze că are în faţa lui un şir de cinzeci de coşuri ca acelea în care se ţin ouă, un fel de cuibare.
În primul coş un ou, în al doilea, doua, şi aşa mai încolo, în al cinzecilea, cinzeci de ouă.
Îl întrebase tata-moş:
-Putem face cumva ca să avem mai puşine coşuri dar cu acelaşi număr de ouă?
Dacă îzbuteşti, nu îţi rămâne decât să înmulţeşti numărul de coşuri cu numărul de ouă dintr-un coş.
Îi lăsase timp, dar nu mult, pentru a nu i se cuibări în minte că matematica este o cetate imposibil de cucerit.
- Priveşte la primul coş, apoi la ultimul! Adună ouăle într-un singur coş, dă coşul gol la spate si aşează pe un nou rând coşul cu 51 de ouă. Priveşte din nou la răndul cu cele 48 de coşuri rămase, primul are două ouă, ultimul 49. Trece două ouă în coşul cu 49, coşul gol îl dai deoparte, iar pe cel cu ouă, 51 de ouă, îl aşezi pe rândul cel nou, lâgă primul, care are acelaşi număr de ouă, 51. Şi tot aşa pănă ajugi la ultimile două coşuri, unul cu 25 şi celălat cu 26 de ouă. Ai completat rândul cu 25 de coşuri, în fiecare se găsesc 51 de ouă. Nu ai decât să faci o înmulţire, 25 cu 51 şi obţii 1157.
Acum lui i se pare o joacă. Atunci i se păruse o minune.
Dar îşi aminteşte că şi-a ascuns sentimentul de uimire, cu o săgeată ţintită asupra modestului dascăl :
- Nu mai bine adunăm ouăle la un loc, le numărăm, şi gata, ce atâta complicaţie!
Nu a savurat mult împunsătura cu săgeata otrăvită, Tata-moş i-a cerut să numere ouăle dintr-un milion de coşuri.
-Hai desenează aici un milion de cercuri, cum ar fi cuibare, pune in ele ouăle, de la 1 la un milion , şi spune-mi câte ouă sunt de toate?
El se simţise încurcat. Parcă îi ceruse să ridice o piatră de moară. Tata-moş nu-l lăsase mult în această stare de angoasă.
-Hai să găsim jocul dintre numerele din exemplul cu cele 50 de coşuri cu ouă.
Să exploatăm povestea lor. Ai un şir de 25 de coşuri, deci jumătate din 50, a cîte 51 de ouă cu unul mai mult decît ouăle din ultimul coş. Adică acelaşi produs de mai sus , 25x51, îl scrii altfel , (50 x 51)/2. Dacă pe 50 îl înlocuieşti cu n , atunci 51 ar trebui înlocuit cu n+1.
1+2+3+ ...+n= n(n+1)/2
De fapt, Tata-moş îl ajutase să cucerească o mică redută a matematicii, aşa cum Karl Friederich Gauss, titanul matematicii, reuşise să adune, mintal, numerele naturale de la 1 la o 100, pe când era de vărsta unui elev de şcoală primară. Pănă la el nimeni nu găsise o cale de a aduna suma a n numere naturale consecutive.
Când o altă redută i se ivi:
1+1x2/2+ 2x3/2+3x4/2+...+nx(n+1)/2
căută să o cucerească fără să-l ajute Tata-moş. Şi-a imginat un număr de n ferme de găini. Prima cea mai săracă, un singur coş, un singur ou; a doua cu două coşuri: un ou, două; a treia cu trei coşuri: un ou, două, trei. Şi tot aşa...Dar, vai! a observat că în această redută este ascunsă o altă redută, nu mai mică, suma pătratelor numerelor naturale! ...
A reuşit! Şi apoi alte şi alte cetăţi i s-au ivit în cale. Astăzi este departe de prima cetate, spre care priveşte cu nostalgie. Tata-moş i-a dat aripi.
Matematica este ca o cetate, care nu se lasă uşor cucerită. Dacă folosindu-te de iscusinţa minţii îi găseşti cifrul, pin-ul, intri în cetate, dar nu ai timp să savurezi victoria, căci vei constata că te găseşti la porţile altei cetăţi, care pentru a fi cucerită, îţi va trebui o altă muniţie, şi o tactică mai sofisticată, şi tot aşa din cetate în cetate ... Mulţi ajung savanţi pe tărâmul acestei ştiinţe, dar la sfârşitul vieţii constată că nu au cucerit şi cea din urmă cetate.
Abonați-vă la:
Postări (Atom)